Il paradosso di Russell e il problema dell'autoreferenzialità come paradosso della ragione

Il problema del terzo uomo: regressus in infinitum e il paradosso della ragione (ottava parte)

 

Il problema del terzo uomo: regressus in infinitum e il paradosso della ragione (ottava parte)

Vedi le altre parti dell’articolo di Nicola Carboni  “Il problema del terzo uomo: regressus in infinitum e il paradosso della ragione”

Il paradosso di Russell e il problema dell’autoreferenzialità come paradosso della ragione

Per prima cosa è necessario considerare alcuni presupposti russelliani
  1. Esistono entità logiche denominate “classi” o “insiemi” che raccolgono tutti gli oggetti aventi una stessa proprietà, che vengono definiti “membri” o “elementi”
  2. Per ogni proposizione linguistica si può dire se essa sia vera o falsa
  3. Una classe P crea la classe residua non-P (┐P) i cui elementi sono tutti quelli che non appartengono a P
  4. Un sistema si dice “completo” se, per ogni oggetto logico, si può dire se appartiene o meno a una determinata classe
  5. Un sistema si dice “coerente” se, dato un elemento, esso non può appartenere contemporaneamente a una classe e alla classe residua.
Sia x → p    ∃ P {∀ x|x ∈ p} se x è p allora esiste una classe P i cui elementi sono tutti gli x che appartengono a p. Se x è un cane la classe P sarà [cane] i cui elementi sono tutti quelli che cani effettivamente sono. La classe residua ┐P sarà ovviamente quella i cui elementi sono quelli che cani non sono. Se a → cane; b → gatto si può affermare con sicurezza che [a] appartiene a P mentre [b] non appartiene a P. Il sistema pertanto è completo in quanto, per ogni elemento x, si può dire se appartiene o non appartiene a P; inoltre è coerente in quanto, ogni elemento x, non può appartenere contemporaneamente a P e a ┐P. Non essendo essa stessa un cane, la classe P non contiene se stessa. Diverso è il caso nel quale si voglia definire una classe R come l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi. Se R appartiene a se stesso →R soddisfa la definizione quindi è un insieme che non appartiene a se stesso → viene contraddetto l’enunciato. Se R non appartiene a se stesso →R non soddisfa la definizione quindi è un insieme che appartiene a se stesso →viene contraddetto l’enunciato. Da qui nasce il paradosso che Russell tenta di risolvere per mezzo della “Teoria dei tipi logici” la quale, sviluppando una rigida gerarchia di elementi, insiemi, insiemi di insiemi e così via, postula che ciò che fa parte di un certo tipo logico può essere membro (o non essere membro) solo di qualcosa che faccia parte del tipo logico gerarchicamente superiore. La relazione di appartenenza può intercorrere solo fra un elemento e un insieme, fra un insieme ed un insieme di insiemi e così via nella relazione gerarchica ascendente. Per evitare l’autoreferenzialità, l’osservatore deve stabilire da quale livello logico analizzare l’asserzione. Alla tipizzazione russelliana sfugge il fatto che il paradosso nasce proprio perché l’osservatore non sa quale livello scegliere e non può scegliere perché difetta di quel sostrato ontologico sulla cui garanzia Platone aveva basato la teoria delle Idee che uniscono in sé la triplice natura ontologica, logica ed epistemologica tra esse connesse e coimplicanti. L’autoreferenzialità mette a nudo le debolezze di quella ragione procedurale che vuol essere garante di sé per mezzo delle sue stesse operazioni; una debolezza che Kurt Gödel dimostrò strutturale con il Primo Teorema dell’incompletezza. Se, per ogni sistema T, esiste una formula φ tale per cui se T è coerente, né φ né ┐φ sono dimostrabili in T allora significa che non vi è alcun modo di liberarsi dai paradossi autoreferenziali. Nicola Carboni

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